venerdì 30 maggio 2014

Numeri "ritardatari"

Il teorema di Bernoulli e il gioco del lotto

Jakob Bernoulli
In tempi di crisi come questi sempre più persone affidano i loro sogni ai giochi d’azzardo. Le agenzie di scommesse prosperano e continuano a nascere nuove lotterie che soddisfano le più diverse esigenze di vincita: dall’arricchimento smodato del Superenalotto al vitalizio di Win for life. Fioriscono trasmissioni televisive nelle quali furbacchioni travestiti da altruisti dispensano terne di numeri vincenti, vantando numerosi successi, e sui giornali leggiamo continuamente cronache ansiogene sulla possibilità che alla prossima estrazione qualcuno si possa portare a casa svariati milioni di euro. La rete, poi, ci viene incontro con la solita messe di informazioni: basta collegarsi a uno qualunque dei numerosi siti web che si occupano di giochi e scommesse per avere tutti gli strumenti per tentare la vincita. Sul sito della Lottomatica, ad esempio, nella sezione relativa al gioco del Lotto troviamo pagine dedicate alla Smorfia, per interpretare i propri sogni e ottenere i numeri vincenti, o quelle in cui «è possibile ricavare numeri "caldi" dalle date e dai luoghi che ci ricordano un amore». Ma troviamo anche sezioni dai nomi suggestivi come "nomi e numeri" o "numeri e cucina" dove «sono le pietanze stesse a suggerirti i numeri vincenti». Completano la lista il "test psicolottico" e il "lottoroscopo".

Accanto a tutto questo, che appartiene al tradizionale mondo della fantasia popolare e della superstizione e che non ha nessuna base razionale né tantomeno scientifica, troviamo qualcosa di apparentemente più serio e fondato matematicamente. Alimentato da un database ricco di tutti i numeri estratti dal 1939, il sito della Lottomatica fornisce varie statistiche per scovare i numeri che non escono da più tempo, i cosiddetti "numeri ritardatari", e addirittura i "numeri spia", quei numeri la cui uscita preannuncerebbe l’estrazione di altri. L’idea che c’è sotto è che in qualche modo le estrazioni sono collegate tra di loro, che esiste una sorta di memoria che permette di ricordare quali numeri sono stati estratti per renderli svantaggiati nelle estrazioni successive. Si raccomanda, insomma, di fare attenzione alla storia delle estrazioni precedenti per capire quale sarà l’andamento di quelle future. A sostegno di questa tesi viene spesso tirato in ballo uno dei teoremi più bistrattati della matematica: il teorema di Bernoulli del calcolo delle probabilità.

Valentin de Boulogne, Negazione di Pietro, 1620

Anche da uno sguardo superficiale la cosa appare alquanto bizzarra. E’ come se una volta tirato un dado e costatata l’uscita del numero 6, al lancio successivo una forza misteriosa agisse improvvisamente favorendo gli altri cinque numeri (rispetto al 6) nell’uscita. Ma dal calcolo delle probabilità sappiamo che, non trattandosi di un dado truccato, ogni volta che lo lanciamo l’aspettativa di uscita di uno qualunque dei numeri da 1 a 6 è sempre la stessa: si dice che l’evento ha probabilità p=1/6 (numero casi favorevoli / numero casi possibili). E questa definizione di probabilità, che risulta sempre un numero compreso tra 0 (probabilità dell’evento impossibile) e 1  (probabilità dell’evento certo), si applica anche a giochi come il Lotto o il Superenalotto.

Nel caso del Lotto la probabilità dell’estrazione di un numero su una ruota è uguale per tutti i novanta numeri considerati e vale 1/18. Infatti la probabilità di 1/90 riguarda l'estrazione di un solo numero su quelli disponibili. Nel Lotto, però, se ne estraggono 5 per ogni ruota, senza rimettere dentro quello estratto (estrazione senza reimbussolamento). Quindi se vogliamo sapere qual'è la probabilità che esca il 3 (ad esempio) su una ruota, dobbiamo calcolare la probabilità che esca una qualunque cinquina contenente il 3. La probabilità sarà:


Sapendo che il numero di cinquine totali è il numero di combinazioni semplici di 90 elementi presi 5 alla volta, indicando con il simbolo n! l'operazione di fattoriale del numero intero n, cioè la moltiplicazione di tutti i numeri interi da 1 a n, si ha

Considerando inoltre che il numero delle cinquine contenenti il 3 è uguale a quello delle combinazioni semplici di 89 elementi (quelli rimanenti togliendo il 3) presi 4 alla volta, cioè


si ha

Nel gioco del Lotto, quindi, ogni volta che si esegue un’estrazione tutto ricomincia daccapo, indipendentemente da quello che è avvenuto prima; le diverse estrazioni sono eventi indipendenti che non si influenzano vicendevolmente. Tutto ciò è evidente. Com’è possibile, quindi, che in matematica esista un teorema che ci induca a pensare a una misteriosa azione che rende favoriti alcuni numeri rispetto ad altri, anche se a priori non abbiamo ragioni per giudicarli tali?

Il teorema pubblicato da Jakob Bernoulli nella sua opera Ars conjectandi agli inizi del settecento consta di due parti, la seconda delle quali è detta anche legge dei grandi numeri. Adottando lo schema delle prove ripetute (o schema di Bernoulli) che consiste in una successione {E1,…,En} di eventi indipendenti ed equiprobabili e indicando con An il numero di volte (successi) in cui si verifica un determinato evento nelle prime n prove, la legge dei grandi numeri afferma che al tendere all’infinito del numero delle prove la frequenza relativa Fn = An/n dei successi tende in probabilità alla probabilità dell’evento stesso, cioè

Dobbiamo qui sottolineare che il concetto di convergenza in probabilità è un po’ differente da quello che incontriamo nello studio dell’analisi matematica. Quando diciamo che una successione di numeri reali {xn} ha limite L al tendere di n all’infinito, intendiamo che comunque si scelga un numero reale positivo ε, possiamo sicuramente trovare un numero intero positivo N tale che la quantità |xn – L| diventa minore di ε per tutti i valori di n maggiori di N. Con questa definizione si stabilisce con certezza che ad esempio |xN+1 – L| o |xN+10 – L| oppure |xN+1531 – L| sono tutti più piccoli del numero ε.

La convergenza in probabilità, invece, non può dare questo tipo di certezze. Essa afferma che scelto comunque un numero reale positivo ε, possiamo trovare un numero intero positivo N tale che, per valori n > N, la probabilità che si realizzi l’evento |xn– L| < ε si avvicina sempre di più a 1 (evento certo). Ma, pur essendo sempre più probabile che al crescere di n si realizzi l’evento |xn – L| < ε, non possiamo escludere che possano esistere valori xn molto lontani da L per un numero anche elevato di interi positivi n > N, comunque si fissi N.
Tornando alla legge dei grandi numeri, trattandosi di una convergenza in probabilità, pur essendo sempre più probabile che al crescere di n si realizzi l’evento |Fn – p| < ε, non possiamo escludere che si possano avere valori molto distanti dalla probabilità p, anche per un numero elevato di prove.

Dosso Dossi, Allegoria della Fortuna, 1535-1538

Nel gioco del Lotto, quindi, è illegittimo pensare che aspettando un sufficiente numero di estrazioni si possa, ad un certo punto, essere sicuri di poter puntare sull’uscita di un numero. Non possiamo assolutamente escludere che, essendo state realizzate un numero finito di estrazioni nella storia di questo gioco (comunque ci sembri grande è sempre un numero finito), non se ne verifichi una lunga sequenza senza l’uscita del numero che aspettiamo. Su qualunque numero, ritardatario o meno, puntare ripetutamente (magari al raddoppio come fanno alcuni giocatori) può essere molto rischioso non essendoci garanzia di non aver imboccato una sequenza del tipo detto.

In effetti dalla legge dei grandi numeri possiamo dedurre l’inconsistenza dello stesso concetto di numero ritardatario come numero anomalo e quindi degno di nota. Per ritardatario intendiamo un numero che, avendo la probabilità p di uscire, non lo fa np volte in n estrazioni di una ruota; esso è tanto più ritardatario quanto più lontano da tale valore è il numero An di uscite. Per tornare all'esempio del lancio dei dadi, forse più familiare, se si verificasse che dopo 6 lanci nessuno di essi desse come risultato il numero 2, allora si potrebbe cominciare a considerare tale numero come ritardatario, perché la probabilità che esca è pari a 1/6. Nel gioco del Lotto se dopo 90 concorsi il 17 non fosse stato estratto per almeno 5 volte (p = 1/18 e 90/18 = 5) allora sarebbe in ritardo. Se crediamo che tale numero abbia, più passano le estrazioni, sempre maggiore probabilità di essere estratto in modo da "riequilibrare" la situazione anomala, dobbiamo dedurre che la quantità |An – np| debba tendere a 0 per valori molto alti di n. Ma per la legge dei grandi numeri, per ogni numero reale positivo ε , tende a 1 la probabilità dell’evento


e il convergere a 0 della frazione non implica il convergere a 0 del numeratore, come vorrebbe l’idea "riequilibratrice" suddetta. Tale frazione può benissimo farlo per il divergere del numeratore. L’importanza della seconda parte del teorema di Bernoulli (legge dei grandi numeri), infatti, non deve far dimenticare la prima che dice proprio che la probabilità che avvenga |An – np| < ε, per ogni numero reale positivo ε, è 0 al tendere di n all’infinito. Al crescere di n il numero dei successi non riuscirà a rimanere all’interno di un opportuno intervallo di np perché crescerà il numero di estrazioni non favorevoli al risultato atteso. Quindi l’idea di numero ritardatario e il ricorrere alla storia delle estrazioni per determinarne l’uscita non hanno senso e non possono certo appoggiarsi sul teorema di Bernoulli.

Gaspare Traversi, La chiromante, 1760
Se oltre a campagne di "pubblicità progresso" dove si esorta a giocare responsabilmente, tra l’altro a giochi non equi dove il banco vice sempre, si facesse informazione scientifica seria, in televisione e sui giornali, forse si spunterebbero le armi di chi approfitta della credulità e dell’ignoranza scientifica diffusa e gioca con le speranze della gente, gioca e … vince.


pubblicato su
TuttiDentro


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7 commenti:

Stefano Maciocchi ha detto...

Musica per le mie orecchie di vecchio statistico.

Giovanni Boaga ha detto...

Spero allora che il tuo orecchio raffinato non abbia sentito qualche stecca... :-)

Statistiche Lotto ha detto...

Ottimo post, da un appassionato di Lotto e Superenalotto. Qualcuno sa dirmi quando esce il Ritardatario 5 sulla ruota di Palermo?

Giovanni Boaga ha detto...

Sabato 14. Garantito!

Anonimo ha detto...

Buongiorno Signor Boaga

vorrei scusarmi di una si inedita richiesta ;

vorrei aprire un dialogo con lei sulla possibbilità vera e concreta di vincere al gioco.

per questo deve dimenticare la matematica che ha studiato e facendo uno sforzo d'immaginazione trovare altri approcci ,per risolvere le difficoltà che sono evidenti del gioco,qualunque esso sia.

vorrei che prendesse come esempio il gioco della roulette detta europea con un solo zero.

e adesso mi segua;
provi a immaginare di :

1- avere in diretta su uno schermo gigante ( e intelligente come l'informatica é capace di fare) tutte le estrazioni di tutte le roulette del mondo.

2-avere a disposizione tutti gli archivi di tutte le roulette del mondo in un dossier facilmente e immediatamente consultabile,in tutti i modi possibili, (degli ultimi 150 anni per esempio)grazie sempre all'aiuto dell'informatica.

3- nessuna pressione per puntare,né di tempo né di spazio;come se potesse bloccare il tempo ( e quindi tutte le roulette) e tranquillamente prendere anche una settimana,un mese,un anno,per studiare il tutto e solo dopo puntare ;

4- avere cioé la possibiltà che sul suo schermo gigante ,i piu grandi ritardi di queste milioni di roulette,clignottano e lo prevengono che alcune di loro hanno raggiunto il piu grande ritardo mai raggiunto negli ultimi 150 anni.

5- e lei abbia il tempo di decidere con tranquillità cosa fare.

6-intendo dire che quello che normalmente avviene (i famosi ritardi estremi) in molti anni,avendo a disposizione milioni di roulette ,questi famosi ritardi si verificano quasi continuamente dato appunto l'abbondanza: si scambia cosi il tempo di attesa per i grandi ritardi con il numero enorme di roulette.

7-per semplificare ci soffermiamo semplicemente sulle puntate sul rosso / nero che paga 2, e se permette (lo consideri un gesto personale) nel caso dell'uscita dello zero,il banco non pretenderà di vincere!giocate alla pari.

conclusione:

ebbene io posso darle tutto questo che ho appena rapidamente indicato ;non deve immaginarlo : tutto é già pronto.

se lei pensa che in queste condizioni vincere é possibile ,la prego di rispondermi;

nel qual caso saro piu esplicito.

se invece anche in queste condizioni lei pensa che non puo farcela,mi ha fatto comunque piacere scriverle.

grazie della sua attenzione

arrivederci raffaele spagnolo
P.S. HO DIFFICOLTA A INDICARE URL

Anonimo ha detto...

Per raffaele spagnolo:
anche sapendo tutte le estrazioni precedenti (che non è banale: da qualche anno c'è internet, ma per le estrazioni dei decenni passati è difficile trovare i dati), NON È POSSIBILE GIOCARE IN MODO VANTAGGIOSO.

Daniele Lapenna ha detto...

I lottologi hanno ragione delle loro tecniche solo per il fatto che non si sa se queste estrazioni siano veramente casuali.

Prendiamo il lancio di una moneta.
La probabilità di uscita di un numero N è sempre la stessa: 1 su 6.
I fattori che incidono sull' uscita del numero N sono molteplici e sempre diversi ad ogni lancio:
- il punto della moneta che si "spinge" col pollice per lanciarla in aria
- l' attrito con l' aria stessa che si muove di continuo
- la gravitazione terrestre
- il momento in cui cade a terra o come e quando la afferriamo in mano

Invece, per le estrazioni del Lotto ad esempio non si sa se siano pilotate o meno.
Un' estrazione fatta con uno strumento elettronico, darebbe una probabilità di uscita "normale", ma se l' uscita fosse manomessa, allora le tecniche dei lottologi sarebbero vere e giuste.

Ho studiato e seguito la Lottologia ( se così si può definire questo movimento - è orribile chiamarla scienza ), e con mio sommo stupore scoprivo come dopo l' uscita di un numero N, usciva realmente, e più di una volta, l' uscita di un numero M.
Anche a distanza di mesi, dopo uscite non attese, ritornava valida questa tecnica.
Ciò denota che l' uscita possa esser "pilotata" e induce ( forse erroneamente ) il giocatore a inventare anche metodi o somme strane che lo portino a trovare numeri validi e certi per ogni estrazione.